این مطلب بر اساس کتاب ریاضی پایه نهم (کد ۹۰۵) چاپ سال تحصیلی ۱۴۰۵–۱۴۰۶، فصل ۱، درس‌های ۱ و ۲ نوشته شده است. نسخه رسمی کتاب در پایگاه کتاب‌های درسی در دسترس است.
مجموعه اولین فصل ریاضی نهم است و پایه چند فصل بعدی هم هست. اگر بدانید مجموعه چیست، زیرمجموعه را از عضو تشخیص بدهید و بتوانید یک مجموعه را به سه روش نمایش بدهید، بیشتر سؤال‌های این فصل برایتان ساده میشود. در این آموزش مجموعه ریاضی نهم را درس‌به‌درس و با همان ترتیب کتاب مرور می‌کنیم. مطالب آموزشی بهترین دبیرستان دخترانه غرب تهران را هم می‌توانید کنار کتاب برای مرور بخوانید.
خلاصه در یک نگاه
- مجموعه یعنی دسته‌ای از اشیای مشخص و متمایز (بدون تکرار). ترتیب عضوها مهم نیست.
- علامت ∈ یعنی «عضو است» و ⊆ یعنی «زیرمجموعه است». این دو را با هم اشتباه نگیرید.
- مجموعه تهی (∅ یا { }) هیچ عضوی ندارد و زیرمجموعه هر مجموعهای است.
- هر مجموعه را میشود با عضوها، با نمودار ون یا با نمادهای ریاضی نمایش داد.
- ℕ ⊆ W ⊆ ℤ ⊆ ℚ: هر عدد طبیعی، حسابی است؛ هر عدد حسابی، صحیح است؛ هر عدد صحیح، گویاست.
مجموعه چیست؟
در ریاضی، مجموعه دسته‌ای از اشیاست که دو شرط داشته باشد: عضوهایش مشخص باشند، یعنی بشود دقیق گفت چه چیزی عضو هست و چه چیزی نیست، و متمایز باشند، یعنی هیچ عضوی تکرار نشود (کتاب ریاضی نهم، صفحه ۲).
مثلاً «شمارنده‌های اول عدد ۶۰» یک مجموعه است: A = {2, 3, 5}. اما «چهار میوه خوشمزه» مجموعه نیست، چون «خوشمزه» برای هر کسی معنای متفاوتی دارد و عضوها مشخص نیستند.
دو قانون مهم در نوشتن مجموعه
- ترتیب مهم نیست: {2, 3, 5} و {5, 2, 3} یک مجموعه‌اند.
- تکرار حساب نمی‌شود: به‌جای {3, 3, 4} می‌نویسیم {3, 4}. این مجموعه دو عضو دارد، نه سه عضو.
مجموعه را معمولاً با حرف بزرگ انگلیسی مثل A یا B نام‌گذاری می‌کنیم و عضوهایش را داخل آکولاد { } می‌نویسیم.
علامت عضویت: ∈ و ∉
اگر a عضو مجموعه A باشد، می‌نویسیم a ∈ A و می‌خوانیم «a عضو A است». اگر عضو نباشد، می‌نویسیم a ∉ A (صفحه ۳). مثلاً برای A = {a, b, 5, 7}: 5 ∈ A درست است و 4 ∉ A هم درست است.
انواع مجموعه
در کتاب نهم مجموعه تهی، مجموعه‌های برابر و زیرمجموعه به‌طور رسمی آمده‌اند. دسته‌بندی «متناهی و نامتناهی» با این نام در کتاب نهم نیامده، اما دانستنش به فهم مجموعه‌های عددی کمک می‌کند.
| نوع مجموعه | یعنی چه؟ | مثال | در کتاب نهم |
|---|---|---|---|
| تهی | هیچ عضوی ندارد | ∅ یا { } (عددهای طبیعی بین ۵ و ۶) | بله (ص ۴) |
| تک‌عضوی | فقط یک عضو دارد | {10}، {0} | به‌صورت تمرین (ص ۴) |
| متناهی | تعداد عضوهایش را میشود شمرد و تمام میشود | {2, 4, 6, 8} | فراتر از کتاب |
| نامتناهی | عضوهایش تمام نمی‌شود | ℕ = {1, 2, 3, …} | فراتر از کتاب (با نماد ℕ در ص ۹) |
مجموعه تهی چیست؟
اگر در مجموعهای هیچ عضوی وجود نداشته باشد، به آن مجموعه تهی می‌گوییم و با ∅ یا { } نمایش می‌دهیم. دقت کنید که {0} و {∅} تهی نیستند؛ هر کدام یک عضو دارند (صفحه ۴). مثلاً «عددهای طبیعی بین ۵ و ۶» یک مجموعه تهی است.
مجموعه‌های برابر
دو مجموعه A و B برابرند اگر هر عضو A عضو B باشد و هر عضو B هم عضو A (صفحه ۶). در این حالت می‌نویسیم A = B. مثلاً «عددهای طبیعی بین ۶ و ۱۰» و «عددهای طبیعی بزرگ‌تر از ۶ و کوچک‌تر از ۱۰» هر دو {7, 8, 9} هستند و برابرند. اما {8, 9, 10} با {7, 8, 9} برابر نیست و می‌نویسیم ≠.
زیرمجموعه چیست؟
اگر همه عضوهای مجموعه B در مجموعه D هم باشند، می‌گوییم B زیرمجموعه D است و می‌نویسیم B ⊆ D (صفحه ۷). اگر حتی یک عضو در B پیدا کنیم که در A نباشد، B زیرمجموعه A نیست: B ⊈ A.
دو نکته از کتاب که در امتحان زیاد پرسیده میشود:
- هر مجموعه زیرمجموعه خودش است: A ⊆ A.
- مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است: ∅ ⊆ A، چون در ∅ هیچ عضوی نیست که در A نباشد.
همه زیرمجموعه‌های یک مجموعه
کتاب (صفحه ۸) همه زیرمجموعه‌های A = {a, b, c} را این‌طور نوشته است:
∅ , {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}
یعنی ۸ زیرمجموعه. برای اینکه چیزی جا نیفتد، به ترتیب بنویسید: اول تهی، بعد تک‌عضوی‌ها، بعد دوعضوی‌ها و در آخر خود مجموعه.
فراتر از کتاب: مجموعهای که n عضو دارد، 2ⁿ زیرمجموعه دارد. مجموعه ۳ عضوی 2³ = 8 زیرمجموعه دارد. این فرمول در کتاب نهم نیامده، اما برای چک کردن جوابتان مفید است.
فرق ∈ و ⊆ (دام رایج امتحان)
علامت ∈ بین یک عضو و یک مجموعه میآید و ⊆ بین دو مجموعه. برای A = {1, 3, 4, 6}:
| عبارت | درست یا نادرست؟ | چرا؟ |
|---|---|---|
| 3 ∈ A | درست | ۳ یک عضو است |
| {3} ⊆ A | درست | {۳} یک مجموعه است و عضوش در A هست |
| 3 ⊆ A | نادرست | ۳ مجموعه نیست؛ باید ∈ نوشت |
| {1, 4} ∈ A | نادرست | {۱، ۴} عضو A نیست؛ زیرمجموعه است |
روش‌های نمایش مجموعه
یک مجموعه را می‌توان به سه روش نمایش داد. هر سه روش در کتاب نهم آمده است.
- با عضوها: عضوها را داخل آکولاد می‌نویسیم، مثل A = {2, 4, 6, 8}.
- با نمودار ون: عضوها را داخل یک منحنی بسته می‌گذاریم (صفحه ۳). نمودار ون برای نشان دادن رابطه چند مجموعه با هم خیلی کمک می‌کند.
- با نمادهای ریاضی: وقتی عضوها ویژگی مشترکی دارند، آن ویژگی را می‌نویسیم (صفحه ۹). مثلاً مجموعه عددهای طبیعی زوج: E = {2k | k ∈ ℕ}. علامت | را «بهطوریکه» می‌خوانیم: «عددهای 2k، بهطوریکه k عدد طبیعی باشد».
برای تبدیل نمایش نمادی به عضوها، به‌جای متغیر عددهای مجاز را بگذارید. مثلاً در A = {5n + 3 | n ∈ ℕ} به‌ترتیب n = ۱، ۲، ۳، … را جایگزین کنید: A = {8, 13, 18, 23, …}.
مجموعه‌های عددی در ریاضی نهم
کتاب در درس ۲ مجموعه‌های عددی آشنا را با نماد معرفی می‌کند (صفحه‌های ۹ و ۱۰):
| نماد | نام | مثال عضوها |
|---|---|---|
| ℕ | عددهای طبیعی | {1, 2, 3, …} |
| W | عددهای حسابی | {0, 1, 2, 3, …} |
| ℤ | عددهای صحیح | {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} |
| ℚ | عددهای گویا | {a/b | a, b ∈ ℤ , b ≠ 0} |
هر عدد طبیعی یک عدد حسابی است، هر عدد حسابی صحیح است و هر عدد صحیح گویاست؛ پس ℕ ⊆ W ⊆ ℤ ⊆ ℚ. مجموعه ℚ را نمی‌شود با فهرست عضوها نوشت، چون «اولین عدد گویای بزرگ‌تر از هر عدد گویا» مشخص نیست؛ برای همین فقط با نمادهای ریاضی نمایش داده میشود. برای مرور این عددها، مطالب اعداد صحیح و اعداد گویا را ببینید.
نکته از کلاس
[نیاز به نکته از دبیر ریاضی نهم؛ مثلاً اشتباه رایج دانش‌آموزان در تشخیص ∈ و ⊆ یا نوشتن زیرمجموعهها. نام و سمت واقعی. پیش از انتشار پر شود.]
نمونه سؤال امتحانی مجموعه با جواب
این سؤال‌ها را دبیرستان اندیشه پارسیان بر اساس تمرین‌های کتاب و به سبک امتحان کلاسی طراحی کرده است. اول خودتان حل کنید، بعد روی «جواب» بزنید.
سؤال ۱: کدام عبارت یک مجموعه را مشخص می‌کند؟ الف) سه شهر بزرگ ایران ب) عددهای اول کوچک‌تر از ۱۰
جواب: «ب». عضوهایش مشخص است: {2, 3, 5, 7}. «الف» مجموعه نیست، چون «بزرگ» معیار دقیقی ندارد.
سؤال ۲: برای A = {1, 3, 5, 7} درستی یا نادرستی را مشخص کنید: 3 ∈ A ، {3} ∈ A ، 4 ∉ A ، ∅ ⊆ A
جواب: 3 ∈ A درست. {3} ∈ A نادرست؛ درستش {3} ⊆ A است. 4 ∉ A درست. ∅ ⊆ A درست، چون تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است.
سؤال ۳: همه زیرمجموعه‌های {x, y} را بنویسید.
جواب: ∅ , {x} , {y} , {x, y}؛ یعنی ۴ زیرمجموعه. خود مجموعه و تهی را فراموش نکنید.
سؤال ۴: مجموعه A = {3k | k ∈ ℕ , k < 5} را با عضوهایش بنویسید.
جواب: k می‌تواند ۱، ۲، ۳ و ۴ باشد؛ پس A = {3, 6, 9, 12}. چون شرط k < 5 است، خود ۵ حساب نمی‌شود.
سؤال ۵: مجموعه B = {x | x ∈ ℤ , −2 ≤ x < 2} را با عضوهایش بنویسید.
جواب: B = {−2, −1, 0, 1}. علامت ≤ یعنی −۲ عضو است و < یعنی ۲ عضو نیست.
سؤال ۶: آیا {0} مجموعه تهی است؟
جواب: نه. {0} یک عضو دارد که عدد صفر است. مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد.
اشتباه‌های رایج در درس مجموعه
- نوشتن ⊆ به‌جای ∈ برای یک عضو تنها.
- تهی دانستن {0} یا {∅}.
- دوبار شمردن عضو تکراری؛ {5, 7, 5, 6} سه عضو دارد.
- جا انداختن ∅ یا خود مجموعه وقتی همه زیرمجموعهها را می‌نویسید.
- دقت نکردن به < و ≤ در نمایش نمادی.
جمع‌بندی
مجموعه دسته‌ای از اشیای مشخص و بدون تکرار است. علامت ∈ برای عضو است و ⊆ برای زیرمجموعه. مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است و هر مجموعه زیرمجموعه خودش. مجموعه‌ها را با عضوها، نمودار ون یا نمادهای ریاضی نمایش می‌دهیم و مجموعه‌های عددی به‌صورت ℕ ⊆ W ⊆ ℤ ⊆ ℚ داخل هم قرار می‌گیرند. درس بعدی همین فصل اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌هاست. اگر درباره کلاس‌های ریاضی دوره اول سؤالی دارید، اطلاعات تماس واحد دوره اول در صفحه مدرسه غیرانتفاعی دخترانه منطقه ۲۲ آمده است.
سوالات متداول
مجموعه تهی چیست؟
مجموعهای که هیچ عضوی ندارد و با ∅ یا { } نمایش داده میشود؛ مثل عددهای طبیعی بین ۵ و ۶. مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعهای است.
فرق ∈ و ⊆ چیست؟
علامت ∈ بین یک عضو و یک مجموعه میآید (۳ ∈ A) و ⊆ بین دو مجموعه ({۳} ⊆ A). نوشتن ۳ ⊆ A نادرست است.
یک مجموعه چند زیرمجموعه دارد؟
مجموعهای با n عضو، ۲ به توان n زیرمجموعه دارد؛ مثلاً مجموعه سهعضوی ۸ زیرمجموعه دارد. این فرمول در کتاب نهم نیامده و کتاب زیرمجموعهها را یکییکی مینویسد.
آیا {0} مجموعه تهی است؟
نه. {0} یک عضو دارد که عدد صفر است. {∅} هم تهی نیست، چون یک عضو دارد.
علامت | در نمایش مجموعه یعنی چه؟
این علامت «بهطوریکه» خوانده میشود. مثلاً {2k | k ∈ ℕ} یعنی عددهای 2k بهطوریکه k عدد طبیعی باشد؛ همان عددهای طبیعی زوج.
بدون دیدگاه